Soit \((u_n)_n\) la série définie par la donnée de \(u_0=a,a\in]0,1[\) et la relation de récurrence $$\forall n\in{\Bbb N},\quad u_{n+1}=u_n-u_n^2$$
Montrer que \((u_n)_u\) est décroissante

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$$\begin{align} u_{n+1}-u_n&=u_n-u_n^2-u_n\\ &=-u_n^2\end{align}$$
\(u_n^2\) est forcément positif, donc \(-u_n^2\) est négatif est la suite est décroissante

(Fonction carré)

Pour \(n\geqslant0\), on considère $$a_n=\int^{\pi/4}_0\tan^nx\,dx$$ montrer que \((a_n)_n\) est décroissante et convergente

Monotonie de l'intégrale sur une puissance de fonction inférieure à \(1\)
On a $$0\leqslant\tan x\leqslant1\implies\tan^{n+1}x\leqslant\tan x$$ donc \((a_n)_n\) est décroissante par monotonie de l'intégrale

TCM

Et donc, puisque \((a_n)_n\) est positive et décroissante, elle converge d'après le théorème de convergence monotone

(Théorème de convergence monotone (suites))